鲁棒主成分分析及应用开题报告

1. 研究目的与意义

随着现代科学技术的高速发展，在许多实际应用中，会产生大量的高维数据，收集这些数据的方式也越来越多，高维数据在给我们提供大量信息的同时，还会在进行分析时增加其复杂度，对算法存储空间更大，运行所需要的时间更久，所以现在对数据处理的能力要求也就越来越高，怎样能够快速有效地提取信息就变得非常重要。在这样的背景下，进一步提出了鲁棒主成分分析。

鲁棒性是指系统在受到扰动或者不确定的情况下，仍然可以维持某些性能的特性。鲁棒主成分分析（robust pca）是将数据矩阵分解为两个矩阵叠加，一个是低秩矩阵（该矩阵的列具有高相关性），另一个是稀疏矩阵（矩阵中非零元素的个数远远小于矩阵元素的总数，并且非零元素的分布没有规律，即是其元素大部分为零的矩阵）， 通过求解优化问题恢复数据矩阵的低秩矩阵与稀疏矩阵。该方法不仅可以有效地重构和恢复数据矩阵的低秩结构,还可以精确地提取数据矩阵的稀疏部分。

低秩矩阵和稀疏矩阵的分解问题是鲁棒主成分分析的核心问题，其中candès e j等人^[6]提到通过求解一个非常方便的凸优化问题，可以精确地恢复低秩矩阵和稀疏矩阵。在分解低秩矩阵和稀疏矩阵问题上前人也已经提出了许多计算方法，大多数求解的方法是将求解的问题转化为一个凸优化问题。例如，在国外，wright j等人^[7]提出了迭代阈值算法，它的迭代式简单且收敛，但在应用过程中应用范围十分有限，因为收敛速度较慢，迭代次数较多；toh k.c等人^[8]提出了加速近端梯度算法（apg），主要利用了nestervo加速的思想，使算法能够快速收敛；lin z等人^[9]提出的对偶算法，对偶算法将原问题转化为一个对偶问题，这个对偶问题是非线性、非光滑的，然后用最速上升法求解，对偶方法比加速近端梯度算法具有更好的可扩展性；yuan x m等人^[10]提出用交替方向法来解决凸优化问题。在国内，杨国亮等人^[11]提出在原来的鲁棒主成分分析模型的基础上，通过求解一个引入帧间相似性约束条件的模型可以得到平滑的低秩数据矩阵和稀疏误差矩阵；蔡思佳^[12]提出了一种鲁棒的双线性分解模型，基于增广拉格朗日交替方向法的算法rbf-aladm来解决这一鲁棒双线性分解问题的等价问题；王心等人^[13] 提出一种称为卷积鲁棒主成分分析（crpca）的新方法，利用卷积矩阵的低秩性对原始数据的结构进行约束，从而实现精确的数据恢复；薛文娟等人^[14]提出了一种新的基于邻近梯度的对偶方法；费靖斯^[15]对张量鲁棒主成分分析进行了研究。也有对于非凸优化的研究，闫喜红等人^[16]基于非凸模型提出了一种高斯型交替下降方向法来求解鲁棒主成分分析。低秩矩阵和稀疏矩阵的分解在各个领域都非常有研究价值和实用价值，应用十分广泛，比如说视频背景分离，处理图像去掉光照、阴影等，音乐词曲分离等。因此，对于鲁棒主成分分析的研究是十分有必要的。

2. 研究内容和问题

基本内容：

在许多重要的应用中，我们所研究的数据通常可以分解为低秩和稀疏两部分的叠加，在统计应用中鲁棒的主成分寻求当然迎合这样的分解。根据应用的不同低秩部分或者稀疏部分都可能成为我们感兴趣的对象。本课题拟学习低秩和稀疏矩阵分解问题以及对前人提出的计算方法进行计算实践，以此对低秩和稀疏矩阵分解的计算做一个初步的了解。

预计解决的难题：

3. 设计方案和技术路线

（1）查阅有关文献和资料，了解相关的基础知识；

（2）熟悉文献求低秩和稀疏矩阵分解的计算方法并给出相应的计算程序；

4. 研究的条件和基础

本课题的指导者近年来主要从事数值代数及统计计算方面的研究，对所从事的研究方向的发展有一定的了解。

统计专业的学生具备一定的概率统计以及数值优化的相关知识，并具有一定的计算机应用能力和文献检索能力；学校图书馆和校园网有比较丰富的图书资料。

综上所述，完成本课题研究的基本条件已基本具备。